Comparison of two approaches for the discretization of elastodynamic contact problems

The purpose of this Note is to compare two approaches for the discretization of elastodynamic contact problems. First, we introduce an energy conserving method based on a standard midpoint scheme and a contact condition expressed in terms of velocity. The second approach consists in considering an equivalent distribution of the body mass so that the nodes on the contact boundary have no inertia. We prove that this method leads to an energy conservation for the space semi-discretized elastodynamic contact problem. Finally, some numerical results are presented in the two dimensional case. Résumé Comparaison entre deux approches de la discrétisation du problème de contact en élastodynamique. Dans cette Note, on compare deux approches de la discrétisation du problème élastodynamique de contact. La première correspond à un schéma qui conserve strictement l’énergie du problème. Ce schéma résulte d’une méthode de point milieu standard avec une loi de contact exprimée en fonction de la vitesse. Dans la deuxième approche, on considère une distribution équivalente de la masse du corps de telle sorte que les points du bord de contact n’aient plus d’inertie. Ceci permet d’aboutir à une conservation de l’énergie pour le problème semi-discrétisé en espace. Enfin, on présente des tests numériques en dimension deux. Version française abrégée Le problème de contact élastodynamique semi-discrétisé en espace est décrit par le problème (1). La difficulté est que ce problème est mal posé (voir [6,7]). Pour retrouver l’unicité, une des méthodes bien adaptée aux corps rigides est l’introduction d’une loi d’impact avec un coefficient de restitution. L’approche s’avère moins satisfaisante dans le cas des corps élastiques déformables car, quelque soit le choix du coefficient de restitution, le problème (1) tend vers une restitution totale de l’énergie quand le pas d’espace tend vers zéro (voir [1] pour plus de détails).